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근데 혹시 힐베르트 공간에 존재하는 점의 개수는 어느정도임?

포인덱스터

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LV26 | Exp.76% | 경험치획득안내[필독]

추천 0-0 | 조회 227 | 작성일 2024-05-17 10:57:46

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유한차원에 존재하는 점의 개수는 2^ℵ₀인데

힐베르트 공간부턴 2^ℵ₀보다 커지는거임?, 아님 그대로 2^ℵ₀임?

갑자기 궁금해짐

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우리형파천

동일함

2024-05-17 11:02:02

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포인덱스터

@우리형파천

무한차원이라고 유한차원보다 더 큰 무한기수가 되는건 아니구나

좀 신기하네

2024-05-17 11:13:15

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포인덱스터

@우리형파천

궁금한게 또 있는데 혹시 힐베르트 공간에서 정수로 표현 가능한 모든 좌표들의 개수는 2^ℵ₀임?, 아니면 ℵ₀임?

한 좌표당 (x, y, z, ···)으로 표현 가능하니까 대각선 논법으로 수직선에 존재하는 모든 실수랑 일대일 대응 가능할거같은데

그럼 2^ℵ₀가 맞는거임?

2024-05-17 12:05:42

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만물유전

@포인덱스터

정수좌표만으로는 여전히 실수하고 대응이 안됨
힐베르트 호텔 비유로 말하면 한 층에 알레프 널 만큼의 무한한 객실을 가진 무한층의 힐베르트 호텔이 각층 마다 또 무한한 객실을 가져도 알레프 1보다 작음
여전히 자연수와 일대일 대응이 가능하니까

2024-05-17 14:19:35

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포인덱스터

@만물유전

무한차원이라 사실상 무한을 무한번 제곱한거나 다름없어서 2^ℵ₀는 될줄 알았는데 ℵ₀라는건 좀 의외네

답변 ㄱㅅㄱㅅ

2024-05-17 14:16:33

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만물유전

@포인덱스터

https://youtu.be/SDIoiy3tfRs
10:36초부터 보면 무슨말인지 알거임

2024-05-17 14:20:28

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포인덱스터

@만물유전

이 영상 내용 자체는 중딩때 책에서 읽었던거라

https://youtu.be/835E9jhTlFQ

근데 다음영상을 바도 시원하게 해결이 안됨...

유한차원 내에 있는 모든 점이 같다는건 알겠는데

그게 무한차원까지 적용되는 원리를 혹시 설명해주실수 있나요?

2024-05-17 17:23:11

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만물유전

@포인덱스터

별거 없음 수학에서 공간을 실수 위에서 보통 이야기하기 때문임(사실 복소수여도 어차피 둘다 알레프1) 물론 어떤 기하적인 대상을 꼭 실수나 복소수에서 다뤄야할 필요는 없지만(대수 기하학 같은 분야는 정수로 기하학을 하기도 하니)

아무튼 보통 선분이든 직선이든 그것을 실수에 대응해서 표현하잖아 그리고 평면도 그렇고 입체도 그렇고 그냥 공간 n차원상에서 어떤 점의 위치는 실수의 튜플(n쌍의 실수)로 표현을 하는건 똑같고
그게 무한차원이라도 그 공간의 점들은 여전히 실수나 복소수로 대응해서 다루니까 기수가 더 커지거나 하지는 않는거지

근데 이런 실수나 복소수 위에서가 아닌 다른 수체계에서 작동하는 공간이면 알레프1 만큼의 점들이 아닐 수 있는거지 루디러커의 Everything Is Everything이라는 작품에서는
'콘웨이 공간'이라는게 등장함 뭐 이거 진짜 있는 학술용어는 아니고 존 호턴 콘웨이라는 수학자가 초현실수라는 수체계를 만들었는데 루디러커가 초현실수로 표현되는 공간을
초현실수라는 수체계를 만든 콘웨이의 이름을 따서 만든 공간임

콘웨이 공간의 경우에는 공간 상의 점의 개수는 집합의 레벨을 뛰어넘어 고유 모임에 도달하기 때문에 얼마나 있다고 말을 할 수 없음 그냥 초한기수를 뛰어넘는거지
말이 길어졌는데 결론은 공간상의 위치를 보통 좌표로 나타낼 때 실수나 복소수로 대응해서 다루기 때문임 여기서는 무한차원이건 유한차원이건 똑같음

2024-05-17 18:05:51

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